Gut, dann hallo zusammen willkommen zur Mehrkörperdynamik Vorlesung. Schön, dass noch jemand gekommen

ist. Ich habe mich gerade schon gefragt, wenn irgendwann keiner kommt, muss ich es

alleine vorlesen, damit wir die Aufnahme haben. Aber nun gut. Also wir waren letzte Woche

bei den Bewegungsgleichungen in den abhängigen Koordinaten und zwar bei dieser Index 3,2,1,0

Formulierung. Und für die abhängigen Koordinaten, das sind diese Koordinaten R, die heißen

deswegen abhängige oder redundante Koordinaten, weil halt die implizite holonome Bindung sie

einschränkt. Das heißt also wir haben meinetwegen N oder 3n Koordinaten in dem R stehen und

hier haben wir B-holonome Bindungen und dann haben wir die Bindungsmonigfaltigkeit von

der Dimension 3n minus B und das ist also der verbleibende Freiheitsgrad von dem System.

Dann haben wir hier die kinetische Differentialgleichung, also das ist in dem Fall einfach nur die Impulsbilanz,

weil wir haben ja gesagt wir gucken uns jetzt erstmal Massenpunktsysteme an mit Bindungen,

also haben wir hier nur transhatorische Größen, also auch nur Impulsbilanz. Hier Masse mal

Beschleunigung auf der rechten Seite und auf der rechten Seite alle Kräfte, das sind

zum einen die eingeprägten Kräfte und eben die Reaktionskräfte, die gerade von diesen

Bindungen hier ausgelöst werden. Fürs Pendel ist es die Kraft im Stab, die den Massenpunkt

auf der Kreisbahn hält zum Beispiel. Wir wissen, dass diese Reaktionskräfte senkrecht zur

Bindungsmonigfaltigkeit stehen, also gerade in die gesperrten Raumrichtungen zeigen und

deswegen können wir diese Reaktionskräfte als eine Linearkombination von den Spalten

der transponierten Bindungsmatrix hier berechnen, denn das hatten wir uns schon vor längerer

Zeit überlegt, in den Zeilen von G, also in den Spalten von G transponiert, steht gerade

eine Basis für die gesperrten Raumrichtungen. Und mit welchen linearen Vorfaktoren man dann

wirklich die Reaktionskraft bekommt, diese Lambdas, die heißen auch Lagrange-Multiplikatoren,

das ändert sich während der Bewegung und das ist Teil der Lösung der Bewegungsgleichungen.

Das heißt also, man löst die Bewegungsgleichungen für R von T, V von T und Lambda von T.

So, dann hatten wir uns klar gemacht, dass das auch wirklich die richtige Anzahl an Gleichungen

ist, die wir hier haben, also 3N kinematische Gleichungen, 3N kinetische Gleichungen, B

Zwangsbedingungen und wir haben 3N Größen in R von T, 3N Größen in V von T und B Größen

in Lambda von T. Also genau die richtige Anzahl von Gleichungen für die Anzahl der Unbekannten.

Das heißt, wir haben diese hier oben zusammengefasst, diese drei Gleichungen, das war das sogenannte

Index-3-System. Ein differenzial-algebraisches Gleichungssystem. Wir sehen hier Differenzial-Gleichungen,

da kommt R-Punkt und V-Punkt drin vor und hier sehen wir eine algebraische Gleichung,

da sind keine Ableitungen drin. Genauso haben wir eben Variablen, die mit ihren Ableitungen

vorkommen, nämlich R und V und wir haben Lambda an der Stelle hier, wenn wir das hier unten

einsetzen, Reaktionskraft gleich G transponiert mal Lambda an diese Stelle einsetzen und Lambda

kommt nicht in der Ableitung vor, das ist die algebraische Variable, also ein differenzial-algebraisches

System. Vom Index-3, weil man dreimal ableiten muss, um es umzuformen in ein ODE-System,

also in System gewöhnlicher Differenzial-Gleichungen. Die ersten beiden Ableitungen, das ist leicht

gewesen, da hat man erstmal diese Bindung auf Lage-Ebene ersetzt durch die Bindung

auf Geschwindigkeitsebene und im zweiten Schritt ersetzt durch die Bindung auf Beschleunigungsebene,

da sind wir schon mal im Index-1-System. Da muss man aber nochmal ableiten und dafür

muss man das System ein bisschen umformen, also das Index-1-System, da haben wir dann,

wir sind Matrix-Vector-Schreibweise geschrieben, dann mit der inversen Matrix durchmultipliziert

und dann die letzte Zeile nochmal abgeleitet, das war die, wo vorher Lambda drin stand

und dann nach dem Ableiten hatten wir eben ein Lambda-Punkt drin stehen. Und somit war

Lambda keine differenzielle Variable, sondern keine algebraische Variable mehr, sondern

eine, die mit ihrer Ableitung vorkommt und alle Gleichungen waren differenzial-Gleichungen

und dann hatten wir eben ein System gewöhnlicher Differenzial-Gleichungen, mussten drei Mal

dafür ableiten. Deswegen war das ursprüngliche, das ich jetzt hier oben nochmal markiere,

mit den Kinematik, Kinetik und Bindungen auf Lage-Ebene, das ist das Index-3-System und

wir kamen dann bei dem Index-0-System an. So, heute gehen wir jetzt den anderen Weg,